【和差化积公式】在三角函数的学习中，和差化积公式是一类非常重要的恒等式。它们可以将两个三角函数的和或差转化为乘积形式，便于进一步的计算与简化。这类公式广泛应用于数学分析、物理以及工程学等领域。
一、和差化积公式的总结
以下是常见的和差化积公式及其适用范围：
| 公式名称 | 公式表达式 | 适用范围 |
| 正弦和化积 | $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | $A, B$ 为任意角 |
| 正弦差化积 | $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | $A, B$ 为任意角 |
| 余弦和化积 | $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | $A, B$ 为任意角 |
| 余弦差化积 | $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | $A, B$ 为任意角 |
| 正切和化积 | $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ | $A, B$ 不为 $\frac{\pi}{2} + k\pi$ |
| 正切差化积 | $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A-B)}{\cos A \cos B}$ | $A, B$ 不为 $\frac{\pi}{2} + k\pi$ |
二、使用场景与注意事项
1. 简化运算：当遇到复杂的三角函数加减法时，使用和差化积公式可以将其转化为乘积形式，从而更容易进行因式分解或积分。
2. 求解方程：在解某些三角方程时，通过将和变为积，可以更方便地找到解的范围或具体值。
3. 物理应用：在波动、振动等物理问题中，和差化积常用于处理波的叠加现象，例如声波、光波的干涉等。
4. 注意定义域：在使用正切相关的公式时，必须注意分母不能为零，即角度不能是 $\frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）。
三、示例说明
例1：计算 $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$
使用公式：
$$
\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2\sin\left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right) = 2\sin 45^\circ \cos 30^\circ
$$
$$
= 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}
$$
例2：化简 $\cos 120^\circ - \cos 60^\circ$
使用公式：
$$
\cos 120^\circ - \cos 60^\circ = -2\sin\left(\frac{120^\circ + 60^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{120^\circ - 60^\circ}{2}\right)
= -2\sin 90^\circ \sin 30^\circ
= -2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = -1
$$
四、结语
和差化积公式是三角函数中不可或缺的一部分，掌握这些公式不仅有助于提高计算效率，还能加深对三角函数性质的理解。在实际应用中，灵活运用这些公式能够解决许多复杂的问题，是学习数学和物理的重要工具之一。
