【tan105度等于多少分数】在三角函数中，tan（正切）是一个重要的基本函数，常用于计算角度与直角三角形边长之间的关系。对于一些特殊的角度，如30°、45°、60°等，我们可以通过公式或单位圆直接得出它们的正切值。而对于105°这样的非标准角度，我们需要通过三角恒等式来推导其正切值。
105°可以表示为两个已知角度之和，即105° = 60° + 45°。利用正切的加法公式：
$$
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}
$$
将A=60°，B=45°代入，得到：
$$
\tan(105°) = \frac{\tan 60° + \tan 45°}{1 - \tan 60° \cdot \tan 45°}
$$
已知：
- $\tan 60° = \sqrt{3}$
- $\tan 45° = 1$
代入得：
$$
\tan(105°) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}
$$
为了将其化简为分数形式，我们可以对分母进行有理化处理：
$$
\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \times \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}
$$
分子展开：
$$
(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} + 3 + 1 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 4
$$
分母展开：
$$
(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2
$$
因此：
$$
\tan(105°) = \frac{2\sqrt{3} + 4}{-2} = -\frac{2\sqrt{3} + 4}{2} = -(\sqrt{3} + 2)
$$
最终结果为：
$$
\tan(105°) = -(\sqrt{3} + 2)
$$
总结与表格展示
| 角度 | 正切值（精确表达） | 小数近似值 |
| 105° | $-\left(\sqrt{3} + 2\right)$ | -3.732 |
通过上述推导可以看出，105°的正切值可以用一个包含根号的表达式表示，也可以用小数近似值表示。在实际应用中，可以根据需要选择使用精确形式或近似数值。
