【线性代数:线性方程组中篇 mdash mdash 齐次线性方程组】在学习线性代数的过程中，线性方程组是一个非常重要的内容。根据是否含有常数项，可以将线性方程组分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组。本文将重点介绍齐次线性方程组的基本概念、解的性质及其求解方法。
一、齐次线性方程组的定义
齐次线性方程组是指所有方程右边的常数项都为零的线性方程组。其一般形式如下：
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0
\end{cases}
$$
其中，$ x_1, x_2, \ldots, x_n $ 是未知数，$ a_{ij} $ 是系数。
二、齐次线性方程组的解的性质
1. 零解一定存在：无论系数矩阵如何，齐次线性方程组至少有一个解，即全零解（$ x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0 $）。
2. 解的结构：
- 如果系数矩阵的秩 $ r < n $，则方程组有无穷多解。
- 如果系数矩阵的秩 $ r = n $，则只有零解。
3. 解的线性组合仍为解：若 $ \mathbf{x}_1 $ 和 $ \mathbf{x}_2 $ 是齐次方程组的两个解，则它们的任意线性组合 $ k_1\mathbf{x}_1 + k_2\mathbf{x}_2 $ 也是该方程组的解。
三、齐次线性方程组的解法步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 构造增广矩阵，但因为是齐次方程组，只需写出系数矩阵 $ A $ |
| 2 | 对矩阵 $ A $ 进行初等行变换，化为行阶梯形或简化行阶梯形 |
| 3 | 确定主变量与自由变量 |
| 4 | 用自由变量表示主变量，得到通解的形式 |
| 5 | 写出所有解的集合（即解空间） |
四、齐次方程组的解空间
齐次线性方程组的全体解构成一个向量空间，称为解空间。这个空间的维数等于未知数个数减去系数矩阵的秩，即：
$$
\text{解空间的维数} = n - r(A)
$$
其中，$ r(A) $ 是系数矩阵 $ A $ 的秩。
五、典型例题分析
例题：求下列齐次线性方程组的解：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\
2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 0 \\
x_1 + x_2 - x_3 = 0
\end{cases}
$$
解法：
1. 系数矩阵为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 2 \\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
$$
2. 对矩阵进行行变换，得到行阶梯形矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -2
\end{bmatrix}
$$
3. 矩阵的秩为 2，未知数个数为 3，因此解空间维数为 1。
4. 解为：
$$
x_1 = t,\quad x_2 = -t,\quad x_3 = 0
$$
通解为：
$$
\mathbf{x} = t \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}
$$
六、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 所有方程右边均为零的线性方程组 |
| 解的存在性 | 至少有一个零解 |
| 解的性质 | 解的线性组合仍是解；解空间为向量空间 |
| 解的数量 | 若秩 $ r < n $，有无穷解；若 $ r = n $，仅有零解 |
| 解空间维数 | $ n - r(A) $ |
| 求解步骤 | 化简矩阵 → 确定主变量与自由变量 → 表示通解 |
| 典型例子 | 如上例所示，通过行变换得到通解 |
通过对齐次线性方程组的学习，我们可以更深入地理解线性系统的结构与性质。它是后续学习矩阵理论、特征值、特征向量等知识的基础。掌握好这部分内容，有助于提高对线性代数整体的理解与应用能力。
