【向量积公式怎么算】向量积，也称为叉积（Cross Product），是向量运算中的一种重要形式，常用于三维空间中的物理和几何问题。它不仅能够表示两个向量之间的垂直关系，还能计算出一个与这两个向量都垂直的第三个向量。本文将对向量积的基本概念、计算方法以及应用进行简要总结，并通过表格形式清晰展示关键内容。
一、向量积的基本概念
向量积是两个向量之间的一种乘法运算，其结果是一个新的向量，该向量的方向由右手定则确定，大小等于两个向量模长的乘积与夹角正弦值的乘积。设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
二、向量积的计算步骤
1. 写出两个向量的坐标：分别列出两个向量的三个分量。
2. 构造行列式：按照标准的叉积行列式格式排列。
3. 计算行列式的展开：按照行列式的展开规则进行计算。
4. 得到结果向量：最终得到一个三维向量，即为两个向量的向量积。
三、向量积的性质
| 性质 | 描述 | ||||||
| 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 与标量相乘 | $k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$ | ||||||
| 模长意义 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 为两向量夹角 |
四、向量积的应用
| 应用场景 | 说明 |
| 物理力学 | 计算力矩、角动量等 |
| 几何计算 | 求平面法向量、面积等 |
| 计算机图形学 | 用于光照、旋转等操作 |
| 电磁学 | 磁场与电流方向的关系 |
五、示例计算
设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{vmatrix}
= (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)\mathbf{i} - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\mathbf{j} + (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)\mathbf{k}
$$
$$
= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
$$
因此，$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$
六、总结
向量积是向量运算中的一个重要工具，广泛应用于数学、物理和工程领域。通过行列式的方式可以快速计算两个向量的叉积，同时理解其方向和大小的意义有助于更深入地掌握向量运算的应用。掌握向量积的公式和性质，是学习三维空间问题的基础之一。
