【向量垂直的充要条件】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是常见的问题。掌握向量垂直的充要条件，有助于在解析几何、物理力学以及工程计算中快速进行分析与运算。
一、基本概念
向量是既有大小又有方向的量。在二维或三维空间中，两个向量如果满足一定条件，它们的方向将互相垂直，即形成90度角。
二、向量垂直的定义
若两个非零向量 a 和 b 的夹角为90°，则称这两个向量垂直，记作 a ⊥ b。
三、向量垂直的充要条件
根据向量的点积（内积）性质，可以得出以下结论：
充要条件：
两个向量垂直的充要条件是它们的点积等于零。
即：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
四、具体形式（二维与三维）
| 向量表示 | 点积公式 | 垂直条件 |
| 二维向量：$\mathbf{a} = (a_1, a_2)$, $\mathbf{b} = (b_1, b_2)$ | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ | $a_1b_1 + a_2b_2 = 0$ |
| 三维向量：$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$, $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ | $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$ |
五、应用举例
例1：
已知向量 $\mathbf{a} = (3, 4)$，$\mathbf{b} = (-4, 3)$，判断是否垂直。
解：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0
$$
因此，$\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 垂直。
例2：
已知 $\mathbf{a} = (1, 2, -3)$，$\mathbf{b} = (2, -1, 0)$，判断是否垂直。
解：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + (-3) \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0
$$
因此，$\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 垂直。
六、总结
向量垂直的判定是向量运算中的重要内容，其核心在于点积为零这一条件。无论是在二维还是三维空间中，只要满足点积为零，即可确定两个向量相互垂直。掌握这一条件，有助于提高在数学和物理问题中的解题效率。
| 项目 | 内容 |
| 标题 | 向量垂直的充要条件 |
| 定义 | 两向量夹角为90° |
| 充要条件 | 点积为零，即 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ |
| 应用场景 | 解析几何、物理力学、工程计算等 |
| 二维公式 | $a_1b_1 + a_2b_2 = 0$ |
| 三维公式 | $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$ |
