【向量垂直公式】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是一个常见的问题。向量的垂直关系不仅在数学中具有重要意义，在物理、工程、计算机图形学等领域也有广泛应用。本文将总结向量垂直的基本公式，并通过表格形式清晰展示相关知识点。
一、向量垂直的定义
若两个非零向量 a 和 b 的夹角为 90°，则称这两个向量互相垂直。在数学上，可以通过它们的点积（内积）来判断是否垂直。
二、向量垂直的判定公式
设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，则：
- 点积公式：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n
$$
- 垂直条件：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
当且仅当两向量的点积为零时，它们相互垂直。
三、常见情况下的向量垂直公式
| 向量类型 | 向量表示 | 垂直条件 |
| 二维向量 | a = (a₁, a₂) b = (b₁, b₂) | $ a_1b_1 + a_2b_2 = 0 $ |
| 三维向量 | a = (a₁, a₂, a₃) b = (b₁, b₂, b₃) | $ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0 $ |
| 空间向量 | a = (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ) b = (b₁, b₂, b₃, ..., bₙ) | $ \sum_{i=1}^{n} a_ib_i = 0 $ |
四、应用示例
例1：判断向量 a = (2, -1) 和 b = (1, 2) 是否垂直。
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \times 1 + (-1) \times 2 = 2 - 2 = 0
$$
因此，a 和 b 垂直。
例2：判断向量 a = (3, 4, 0) 和 b = (4, -3, 5) 是否垂直。
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \times 4 + 4 \times (-3) + 0 \times 5 = 12 - 12 + 0 = 0
$$
所以，a 和 b 也垂直。
五、总结
向量垂直的核心在于点积为零这一条件。无论是在二维还是高维空间中，只要满足点积为零，即可判定两向量垂直。掌握这一公式对于解决几何、物理和工程中的实际问题非常关键。
| 关键点 | 内容 |
| 判定方法 | 点积为零 |
| 公式 | $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 $ |
| 应用领域 | 数学、物理、计算机图形学等 |
| 注意事项 | 两向量必须非零；适用于任意维度空间 |
通过以上内容，可以系统地理解向量垂直的概念与应用，帮助在实际问题中快速判断向量之间的关系。
