【什么叫正定矩阵】正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、统计学、优化理论和物理学等领域。它是一种特殊的对称矩阵，具有良好的性质，能够保证某些方程的唯一解或函数的最小值存在。下面我们将从定义、性质和应用三个方面进行总结，并通过表格形式直观展示。
一、定义
一个 n×n 的实对称矩阵 A 被称为 正定矩阵，如果对于所有非零向量 x ∈ ℝⁿ，都有：
$$
x^T A x > 0
$$
换句话说，当我们将矩阵 A 与任意非零向量相乘并取内积时，结果必须为正。
二、性质
正定矩阵具有以下关键性质：
| 属性 | 描述 |
| 对称性 | 必须是对称矩阵（即 A = A^T） |
| 特征值 | 所有特征值都大于 0 |
| 行列式 | 行列式大于 0 |
| 主子式 | 所有顺序主子式都大于 0 |
| 可逆性 | 是可逆矩阵，且其逆矩阵也是正定的 |
| 分解 | 可以进行 Cholesky 分解（A = L L^T，其中 L 是下三角矩阵） |
三、判断方法
判断一个矩阵是否为正定矩阵，可以采用以下几种方式：
| 方法 | 说明 |
| 特征值法 | 计算所有特征值，若全为正，则为正定矩阵 |
| 求行列式 | 计算所有顺序主子式的行列式，若全为正，则为正定矩阵 |
| 二次型 | 判断二次型 x^T A x 是否恒为正 |
| Cholesky 分解 | 尝试进行 Cholesky 分解，若成功则为正定矩阵 |
四、应用场景
正定矩阵在多个领域中有着重要的应用，包括但不限于：
- 优化问题：在凸优化中，目标函数的 Hessian 矩阵正定意味着该点是局部极小值点。
- 统计学：协方差矩阵通常为半正定矩阵，若为正定则表示变量之间不完全相关。
- 数值分析：正定矩阵在求解线性方程组时更加稳定，适合使用如共轭梯度法等迭代算法。
- 机器学习：在支持向量机、高斯过程等模型中，正定核函数是重要前提条件。
五、示例
例如，矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
$$
是一个正定矩阵，因为它的特征值为 3 和 1，均为正数；同时，其行列式为 3 > 0，顺序主子式也为正。
六、总结
正定矩阵是一种特殊的对称矩阵，其核心特征在于对所有非零向量的二次型结果为正。它在数学和工程中具有广泛的用途，尤其在优化、统计和数值计算中不可或缺。理解正定矩阵的性质和判断方法，有助于更深入地掌握线性代数及相关应用领域的知识。
表格总结：
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 实对称矩阵 A 满足 x^T A x > 0 对所有非零 x 成立 |
| 性质 | 对称、特征值全正、行列式正、主子式正、可逆、可分解 |
| 判断方法 | 特征值法、行列式法、二次型法、Cholesky 分解 |
| 应用 | 优化、统计、数值分析、机器学习 |
| 示例 | $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ |
