【三阶行列式计算方法】三阶行列式是线性代数中的一个基本概念，常用于解线性方程组、判断矩阵的可逆性以及计算向量的叉积等。三阶行列式的计算方法有多种，常见的包括对角线法（萨里法则）和展开法（按行或列展开）。本文将对这两种方法进行总结，并通过表格形式对比其特点与适用场景。

一、三阶行列式的基本形式

设一个三阶矩阵为：

$$

A =

\begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33}

\end{bmatrix}

$$

其对应的三阶行列式记作 $ A $ 或 $ \det(A) $，计算公式如下：

$$

$$

二、常用计算方法总结

三、对角线法（萨里法则）详解

以三阶行列式为例：

$$

\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33}

\end{vmatrix}

$$

步骤：

1. 在右侧添加前两列，形成扩展形式：

$$

\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32}

\end{vmatrix}

$$

2. 计算主对角线乘积之和：

$$

a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}

$$

3. 计算副对角线乘积之和：

$$

a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}

$$

4. 结果为：

$$

$$

四、展开法（按行/列展开）详解

以第一行展开为例：

$$

$$

其中 $ M_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的余子式，即去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后剩下的二阶行列式。

例如：

$$

M_{11} =

\begin{vmatrix}

a_{22} & a_{23} \\

a_{32} & a_{33}

\end{vmatrix}

= a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}

$$

类似地，可以计算其他余子式。

五、方法对比表

六、总结

三阶行列式的计算方法主要有两种：对角线法和展开法。前者简单直观，适合初学者快速掌握；后者更通用，适用于更高阶的行列式计算。在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法可以提高计算效率和准确性。理解这两种方法的原理，有助于进一步学习线性代数的相关内容。