【行列式怎么展开】在学习线性代数的过程中，行列式的计算是一个非常基础且重要的内容。行列式的展开是求解行列式值的一种基本方法，尤其适用于高阶行列式的计算。本文将总结行列式展开的基本方法，并通过表格形式清晰展示其步骤与规则。

一、行列式展开的基本概念

行列式（Determinant）是一个与方阵相关的标量值，用于判断矩阵是否可逆、计算面积或体积等。对于一个n×n的矩阵A，其行列式记为A或det(A)。

行列式的展开通常指的是按行或按列进行展开，即使用余子式（Cofactor）来逐步计算行列式的值。

二、行列式展开的方法

1. 按行展开（Row Expansion）

对于一个n×n的矩阵，可以选择任意一行（如第i行），然后对每个元素a_{ij}，计算其对应的余子式M_{ij}，再乘以符号(-1)^{i+j}，最后将所有结果相加：

$$

\text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}

$$

2. 按列展开（Column Expansion）

同样地，也可以选择任意一列（如第j列），对每个元素a_{ij}，计算其对应的余子式M_{ij}，并乘以符号(-1)^{i+j}，最后相加：

$$

\text{det}(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}

$$

三、余子式与代数余子式

- 余子式（Minor）：去掉某一行和某一列后剩下的子矩阵的行列式，记为M_{ij}。

- 代数余子式（Cofactor）：M_{ij}乘以符号(-1)^{i+j}，记为C_{ij}。

四、行列式展开的步骤总结

五、示例说明

假设有一个3×3矩阵：

$$

A = \begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9 \\

\end{bmatrix}

$$

我们按第一行展开：

$$

\text{det}(A) = 1 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13}

$$

计算各余子式：

- $ C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) = 1 \cdot (45 - 48) = -3 $

- $ C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = -1 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) = -1 \cdot (36 - 42) = 6 $

- $ C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 1 \cdot (32 - 35) = -3 $

最终：

$$

\text{det}(A) = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0

$$

六、小结

行列式的展开是一种通过逐项计算的方式求解行列式值的方法。无论选择哪一行或列进行展开，只要正确计算余子式和代数余子式，最终结果都是一致的。掌握这一方法有助于理解行列式的结构和性质，也为后续的矩阵运算打下坚实基础。

表格总结：行列式展开关键步骤

通过以上方法和步骤，可以系统地理解和应用行列式的展开技巧，提升线性代数的学习效率。