【线性代数:向量组的线性相关性上篇】在学习线性代数的过程中，向量组的线性相关性是一个非常重要的概念。它不仅帮助我们理解向量之间的关系，还为后续矩阵、方程组解的结构等知识奠定了基础。本文将对向量组的线性相关性进行总结，并通过表格形式直观展示关键知识点。
一、基本概念
1. 向量组：由若干个向量按一定顺序排列而成的集合。
2. 线性组合：给定向量组 $ \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \} $，若存在一组实数 $ k_1, k_2, \dots, k_n $，使得
$$
\mathbf{v} = k_1\mathbf{v}_1 + k_2\mathbf{v}_2 + \dots + k_n\mathbf{v}_n
$$
则称 $ \mathbf{v} $ 是该向量组的一个线性组合。
3. 线性相关：如果存在不全为零的数 $ k_1, k_2, \dots, k_n $，使得
$$
k_1\mathbf{v}_1 + k_2\mathbf{v}_2 + \dots + k_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}
$$
则称该向量组是线性相关的。
4. 线性无关：若只有当 $ k_1 = k_2 = \dots = k_n = 0 $ 时，上述等式成立，则称该向量组是线性无关的。
二、判断方法
| 方法 | 说明 | 适用场景 |
| 定义法 | 直接根据定义判断是否存在非零系数使得线性组合为零向量 | 简单向量组或小规模问题 |
| 行列式法 | 若向量组构成方阵且行列式不为零，则线性无关；否则线性相关 | 向量个数与维数相等的情况 |
| 秩法 | 向量组的秩小于向量个数 → 线性相关；等于 → 线性无关 | 适用于一般情况，尤其适合高维空间 |
| 齐次方程组法 | 构造齐次方程组，判断是否有非零解 | 常用于计算和理论分析 |
三、性质总结
| 性质 | 内容 |
| 1 | 含有零向量的向量组必线性相关 |
| 2 | 若一个向量组中某向量可由其余向量线性表示，则该向量组线性相关 |
| 3 | 线性无关的向量组中任意部分组也线性无关 |
| 4 | 线性相关的向量组中添加新向量后仍可能保持相关 |
| 5 | 向量组的极大线性无关组是唯一的（不考虑顺序） |
四、典型例子
| 向量组 | 是否线性相关 | 说明 |
| $ \{ (1, 0), (0, 1) \} $ | 线性无关 | 标准正交基 |
| $ \{ (1, 2), (2, 4) \} $ | 线性相关 | 第二个向量是第一个的2倍 |
| $ \{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0) \} $ | 线性相关 | 包含零向量 |
| $ \{ (1, 1), (2, 3), (4, 5) \} $ | 线性相关 | 三个二维向量必然线性相关 |
五、总结
向量组的线性相关性是线性代数中的核心内容之一，掌握其判断方法和性质对于进一步学习矩阵、特征值、空间结构等内容至关重要。通过不同的方法（如行列式、秩、齐次方程等），我们可以灵活地判断向量组是否线性相关或无关。理解这些概念有助于我们在实际问题中更好地处理数据、分析结构以及构建数学模型。
下篇将介绍向量组的极大线性无关组、基与维数等内容，敬请期待。
