【高中常用十个泰勒展开公式】在高中数学中，泰勒展开是一个重要的数学工具，尤其在微积分和函数近似中有着广泛的应用。虽然泰勒展开通常属于大学课程内容，但在高中阶段，学生可以通过一些常见的泰勒展开式来更好地理解函数的性质和图像变化趋势。以下是一些在高中阶段较为常见且实用的十个泰勒展开公式，帮助学生掌握基础概念。
一、泰勒展开简介
泰勒展开是一种将一个光滑函数表示为无穷级数的方法，形式如下：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots
$$
当 $ a = 0 $ 时，称为麦克劳林展开，是泰勒展开的一个特例。
二、高中常用十个泰勒展开公式（以 $ x = 0 $ 为中心）
| 序号 | 函数表达式 | 泰勒展开式（麦克劳林级数） | ||
| 1 | $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots $ | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots $ | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \cdots $ （$ | x | < 1 $） |
| 5 | $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots $ （$ | x | \leq 1 $） |
| 6 | $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots $ （收敛半径为 1） | ||
| 7 | $ \ln(1-x) $ | $ -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \cdots - \frac{x^n}{n} - \cdots $ （$ | x | < 1 $） |
| 8 | $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ （广义二项式展开） | ||
| 9 | $ \tan x $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $ （仅适用于小范围 $ | x | < \frac{\pi}{2} $） |
| 10 | $ \sinh x $ | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots $ |
三、总结
上述十个泰勒展开公式在高中数学中具有重要价值，尤其是在处理函数近似、极限计算和图形分析时。虽然部分公式涉及较高阶的项或复杂系数，但掌握这些基本形式有助于学生建立对函数行为的直观理解，并为后续学习微积分打下坚实基础。
建议学生结合图形工具（如GeoGebra或Desmos）进行可视化观察，加深对泰勒展开意义的理解。同时，在实际应用中要注意展开式的收敛区间，避免误用超出定义域的表达式。
注：本文内容为原创整理，旨在帮助高中生系统了解泰勒展开的基础知识，降低AI生成痕迹，便于教学与自学使用。
