【平面向量平行垂直公式推导】在平面向量的学习中，平行与垂直是两个非常重要的概念。它们不仅在几何问题中有广泛应用，在物理、工程等领域也具有重要意义。本文将对平面向量的平行与垂直条件进行推导，并通过表格形式总结其公式和应用。

一、向量的基本概念

设平面向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$。

- 向量的模长：$\vec{a} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$

- 向量的点积（内积）：$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

- 向量的叉积（外积）：在二维空间中，可表示为标量形式：$\vec{a} \times \vec{b} = x_1y_2 - x_2y_1$

二、向量平行的条件推导

若两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 平行，则它们的方向相同或相反，即存在一个实数 $k$，使得：

$$

\vec{a} = k \vec{b}

$$

即：

$$

(x_1, y_1) = k(x_2, y_2)

$$

由此可得：

$$

x_1 = kx_2, \quad y_1 = ky_2

$$

将两式相除（假设 $x_2 \neq 0$ 且 $y_2 \neq 0$），得到：

$$

\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = k

$$

因此，向量平行的充要条件是：

$$

x_1y_2 = x_2y_1

$$

或者用叉积的形式表示为：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = 0

$$

三、向量垂直的条件推导

若两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 垂直，则它们的夹角为 $90^\circ$，此时它们的点积为零：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

$$

即：

$$

x_1x_2 + y_1y_2 = 0

$$

这是向量垂直的充要条件。

四、总结表格

五、实际应用举例

- 平行判断：已知 $\vec{a} = (2, 4)$，$\vec{b} = (1, 2)$，因为 $2 \times 2 = 1 \times 4$，所以 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行。

- 垂直判断：已知 $\vec{a} = (3, 1)$，$\vec{b} = (-1, 3)$，因为 $3 \times (-1) + 1 \times 3 = -3 + 3 = 0$，所以 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直。

六、结语

通过对平面向量平行与垂直条件的推导，我们不仅掌握了数学上的基本结论，也为后续的几何分析、物理计算打下了坚实的基础。理解这些公式的本质，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。