【行列式的性质有什么】行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于矩阵分析、方程组求解和几何变换等领域。掌握行列式的性质有助于更深入地理解其应用与计算方法。以下是对行列式主要性质的总结。
行列式的性质总结
| 序号 | 性质名称 | 内容说明 |
| 1 | 行列式与转置 | 行列式与其转置矩阵的行列式相等，即 $ \det(A) = \det(A^T) $。 |
| 2 | 行列式与交换行 | 若交换两行（或两列），行列式的符号改变，即 $ \det(A') = -\det(A) $。 |
| 3 | 行列式与倍乘行 | 若某一行（或一列）乘以常数 $ k $，行列式变为原来的 $ k $ 倍。 |
| 4 | 行列式与零行 | 若某一行（或一列）全为零，则行列式为零。 |
| 5 | 行列式与相同行 | 若两行（或两列）完全相同，则行列式为零。 |
| 6 | 行列式与线性组合 | 若某一行是其他两行的线性组合，则行列式为零。 |
| 7 | 行列式与三角形矩阵 | 上三角或下三角矩阵的行列式等于其主对角线元素的乘积。 |
| 8 | 行列式与乘法性质 | 对于两个同阶方阵 $ A $ 和 $ B $，有 $ \det(AB) = \det(A)\det(B) $。 |
| 9 | 行列式与逆矩阵 | 若 $ A $ 可逆，则 $ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} $。 |
| 10 | 行列式与特征值 | 方阵 $ A $ 的行列式等于其所有特征值的乘积。 |
小结
行列式的性质不仅帮助我们简化计算，还能在判断矩阵是否可逆、求解线性方程组等方面发挥重要作用。了解这些性质有助于更灵活地运用行列式进行数学分析与实际问题建模。在学习过程中，建议结合具体例子进行练习，以加深理解。
