【等比数列sn求和公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。对于等比数列的前n项和（记作Sₙ），我们有专门的求和公式。以下是对等比数列前n项和公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、等比数列的基本概念
- 首项：a₁
- 公比：q（q ≠ 1）
- 项数：n
- 第n项：aₙ = a₁ × q^{n−1}
- 前n项和：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ
二、等比数列前n项和公式
当公比 q ≠ 1 时，等比数列的前n项和公式为：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
$$
或等价地：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$
两种表达方式本质上是相同的，只是分子分母的位置不同。
三、特殊情况说明
| 公比 q | 是否适用公式 | 说明 |
| q ≠ 1 | 是 | 使用上述公式计算前n项和 |
| q = 1 | 否 | 所有项都相等，Sₙ = a₁ × n |
四、示例说明
假设有一个等比数列，首项为2，公比为3，求前5项的和。
- a₁ = 2
- q = 3
- n = 5
代入公式：
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot \frac{242}{2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
验证各项：
- 第1项：2
- 第2项：6
- 第3项：18
- 第4项：54
- 第5项：162
- 总和：2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242
结果一致。
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 数列类型 | 等比数列 |
| 首项 | a₁ |
| 公比 | q |
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $ |
| 注意事项 | 当q = 1时，Sₙ = a₁ × n |
通过掌握这一公式，可以快速计算等比数列的前n项和，适用于数学学习、工程计算等多个领域。
