【等差数列所有公式大全】等差数列是数学中常见的数列类型，广泛应用于数列、函数、几何等领域。掌握等差数列的相关公式，有助于快速求解相关问题。以下是对等差数列所有重要公式的总结，便于查阅和理解。
一、基本概念
- 等差数列：一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差为同一个常数，这个常数称为公差，记作 $ d $。
- 首项：数列的第一个数，记作 $ a_1 $。
- 通项公式：表示数列中第 $ n $ 项的公式。
- 前 $ n $ 项和：表示数列前 $ n $ 项的总和。
二、等差数列常用公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 表示第 $ n $ 项的值 |
| 第 $ n $ 项公式（已知末项） | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 同上，用于计算任意项 |
| 公差公式 | $ d = a_{n} - a_{n-1} $ | 计算相邻两项的差 |
| 前 $ n $ 项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 适用于知道首项和末项时 |
| 前 $ n $ 项和公式（用公差） | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 适用于知道首项和公差时 |
| 中间项公式（奇数项） | $ a_m = \frac{a_1 + a_n}{2} $ | 当 $ n $ 为奇数时，中间项为平均数 |
| 等差中项 | 若 $ a, b, c $ 成等差，则 $ b = \frac{a + c}{2} $ | 用于找中间数 |
三、应用举例
例1：已知等差数列首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $，求第5项及前5项和。
- 第5项：
$ a_5 = 3 + (5 - 1) \times 2 = 3 + 8 = 11 $
- 前5项和：
$ S_5 = \frac{5}{2}(3 + 11) = \frac{5}{2} \times 14 = 35 $
例2：已知等差数列中 $ a_1 = 5 $，$ a_6 = 17 $，求公差 $ d $ 和前6项和。
- 公差：
$ a_6 = a_1 + 5d \Rightarrow 17 = 5 + 5d \Rightarrow d = 2.4 $
- 前6项和：
$ S_6 = \frac{6}{2}(5 + 17) = 3 \times 22 = 66 $
四、小结
等差数列的公式虽然看似简单，但灵活运用能够解决很多实际问题。在学习过程中，应注重理解每个公式的含义及其适用条件，并通过练习加深记忆。掌握这些公式后，可以更高效地处理数列相关的题目。
如需进一步了解等比数列或其他数列的公式，可继续查阅相关内容。
