在物理学中，垂直轴定理（也称为平行轴定理）是用于计算刚体绕某一轴转动惯量的一个重要工具。这个定理提供了一种方便的方法来确定一个物体围绕通过其质心以外的轴的转动惯量。

定理陈述

假设我们有一个刚体，并且我们知道它关于通过其质心C的某个轴的转动惯量I_c。现在，如果我们想要知道该刚体关于一条与上述轴平行但不经过质心的新轴的转动惯量I，那么垂直轴定理可以表示为：

\[ I = I_c + md^2 \]

其中：

- \( I \) 是刚体关于新轴的转动惯量；

- \( I_c \) 是刚体关于通过质心的轴的转动惯量；

- \( m \) 是刚体的质量；

- \( d \) 是新轴到质心的距离。

公式推导

为了证明这一公式，我们需要利用积分的形式来表达转动惯量的概念。设刚体由无数个质量元组成，每个质量元的质量为\(dm\)，位置矢量为\(r\)。则刚体的总转动惯量可以表示为：

\[ I = \int r^2 dm \]

这里\(r\)是从旋转轴到质量元\(dm\)的距离。如果我们将坐标系原点选在质心上，则可以通过分解坐标系中的向量来简化问题。设\(z'\)轴是我们所关心的新轴，而\(z\)轴是通过质心的轴。根据几何关系，有：

\[ r^2 = x^2 + y^2 = (x')^2 + (y')^2 + d^2 \]

其中\(d\)是\(z'\)轴相对于\(z\)轴的位移。代入积分得到：

\[ I = \int ((x')^2 + (y')^2 + d^2)dm \]

\[ = \int (x')^2 dm + \int (y')^2 dm + \int d^2 dm \]

由于\(z\)轴是质心轴，所以\(x'\)和\(y'\)分量对质心轴的贡献分别为零（这是质心定义的一部分），因此第一两项为零。最后剩下：

\[ I = d^2 \int dm = d^2m \]

加上原来的\(I_c\)项，最终得到：

\[ I = I_c + md^2 \]

这就是垂直轴定理的数学表达及其证明过程。这个定理在工程学和物理学中有广泛的应用，特别是在涉及机械系统动力学分析时。