在物理学中，曲线运动是物体沿非直线路径移动的现象。这种运动形式广泛存在于自然界和工程应用中，例如抛体运动、圆周运动等。为了全面描述曲线运动，我们需要一系列数学公式来表达其位移、速度、加速度等物理量随时间的变化规律。

首先，我们考虑一个质点在平面内进行曲线运动的情况。假设该质点的位置由矢径 \(\vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j}\) 描述，则其瞬时速度 \(\vec{v}(t)\) 可以表示为位置矢径对时间的导数：

\[

\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j}.

\]

进一步地，加速度 \(\vec{a}(t)\) 是速度矢量关于时间的一阶导数，即：

\[

\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}\hat{i} + \frac{d^2y}{dt^2}\hat{j}.

\]

对于更复杂的三维空间曲线运动，上述定义同样适用，只需将坐标扩展至三维即可。此外，在某些特定条件下，如匀速圆周运动或简谐振动，这些基本公式还可以简化为特定形式。

值得注意的是，在处理实际问题时，除了以上基本公式外，还需要结合牛顿第二定律 \(F=ma\) 来分析作用力与运动之间的关系。同时，若存在非惯性参考系，则还需引入科里奥利力等相关修正项。

综上所述，理解并掌握这些基本公式及其适用范围对于解决各类涉及曲线运动的问题至关重要。希望本文能够帮助读者建立起清晰的概念框架，并为进一步深入学习奠定坚实基础。