【向量相乘公式】在数学和物理中，向量的乘法是极为重要的运算之一。根据不同的应用场景，向量之间的乘法可以分为两种主要形式：点积（数量积） 和 叉积（向量积）。这两种乘法方式在几何、力学、工程等领域都有广泛的应用。

下面是对这两种向量相乘公式的总结，并通过表格形式进行对比，帮助读者更清晰地理解它们的定义、性质及应用场景。

一、点积（数量积）

点积也称为内积，其结果是一个标量（即一个数值）。点积常用于计算两个向量之间的夹角或投影长度。

公式：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \cos\theta

$$

其中：

- $ \vec{a} $ 和 $ \vec{b} $ 是两个向量；

- $ \theta $ 是两向量之间的夹角；

- $ \vec{a} $ 和 $ \vec{b} $ 分别为向量的模长。

代数表达式（在直角坐标系下）：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

$$

二、叉积（向量积）

叉积的结果是一个向量，其方向垂直于原来的两个向量所组成的平面，大小等于这两个向量所形成的平行四边形的面积。

公式：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \sin\theta \cdot \hat{n}

$$

其中：

- $ \hat{n} $ 是垂直于 $ \vec{a} $ 和 $ \vec{b} $ 所在平面的单位向量，方向由右手定则确定；

- $ \theta $ 是两向量之间的夹角。

代数表达式（在三维空间中）：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

三、点积与叉积对比表

四、小结

向量的乘法在数学和物理中具有非常重要的作用。点积用于计算标量值，如功、角度和投影；而叉积则用于生成垂直于原向量的向量，常用于描述旋转、力矩等现象。

掌握这两种乘法的公式和应用，有助于更好地理解和解决实际问题。无论是工程设计、计算机图形学还是理论物理，向量相乘都是不可或缺的基础工具。