公式一：中点坐标公式

假设在一个圆中，有一条弦AB，其两端点分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则弦AB的中点M的坐标可以通过以下公式计算得出：

\[ M\left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \]

此公式的应用非常广泛，在求解几何图形的中心位置或者验证某一点是否为线段中点等问题上都十分有效。

公式二：垂直平分线方程

若已知弦AB的两个端点坐标，则可以利用上述中点坐标来确定这条弦的垂直平分线方程。设弦AB的中点为M(h,k)，那么垂直平分线的斜率为 \(-\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\)，进而得到直线方程如下：

\[ y - k = -\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}(x-h) \]

这条直线不仅经过弦AB的中点，并且与弦AB垂直相交，对于构建复杂的几何模型具有重要意义。

公式三：弦长计算公式

当需要知道特定条件下弦的实际长度时，可以使用弦长计算公式。给定圆心O(a,b)以及半径r，弦AB两端点到圆心的距离分别为d₁和d₂，则弦长L可由下面公式求得：

\[ L = 2\sqrt{r^2-\left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)^2} \]

这个公式适用于任何已知圆的基本参数及弦的位置关系的情况，特别是在涉及面积或体积计算时极为有用。

通过以上三个公式的学习和实践运用，我们能够更深入地理解蝴蝶定理背后隐藏的数学逻辑，并将其灵活应用于实际问题之中。无论是平面几何还是立体几何领域，这些基础知识都将为我们打开新的视野，让我们在探索未知的过程中更加得心应手。