在数学领域中，三角函数是一个非常重要的研究对象。而其中的正切函数（tangent function），即 tanx，更是因其独特的性质和广泛应用而备受关注。那么，tanx 的导数是什么呢？

首先，我们来回顾一下正切函数的基本定义。正切函数可以表示为 tanx = sinx / cosx，在其定义域内成立。为了求出 tanx 的导数，我们可以利用商的求导法则。

根据商的求导法则，若函数 f(x) = u(x)/v(x)，则 f'(x) = (u'v - uv')/v²。在这里，我们将 u(x) = sinx 和 v(x) = cosx 代入公式：

- u'(x) = cosx （sinx 的导数）

- v'(x) = -sinx （cosx 的导数）

因此，tanx 的导数为：

\[ \frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} \]

化简后得到：

\[ \frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \]

根据三角恒等式 \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)，最终结果为：

\[ \frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x} \]

进一步简化，我们可以写成：

\[ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \]

这里，secx 是正割函数，即 secx = 1/cosx。所以，正切函数 tanx 的导数是它的平方正割函数，即 \(\sec^2 x\)。

这一结论不仅在理论数学中有重要意义，在物理学、工程学等领域也有广泛的应用。例如，在分析周期性运动或波动现象时，正切函数及其导数常常出现在微分方程中。

总结来说，tanx 的导数是 \(\sec^2 x\)。这一结果不仅是数学学习中的一个基础知识点，也是解决实际问题的重要工具之一。希望本文能帮助大家更好地理解和掌握这一概念！