【已知概率密度函数求分布函数?】在概率论与数理统计中，概率密度函数（PDF）和分布函数（CDF）是两个密切相关的概念。已知一个随机变量的概率密度函数，我们可以通过积分的方式求得其分布函数。下面将对这一过程进行总结，并通过表格形式清晰展示关键步骤与公式。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 概率密度函数 (PDF) | 设 $ X $ 是一个连续型随机变量，其概率密度函数 $ f(x) $ 满足：$ f(x) \geq 0 $，且 $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 $ |
| 分布函数 (CDF) | 分布函数 $ F(x) $ 表示随机变量 $ X $ 小于或等于 $ x $ 的概率，即 $ F(x) = P(X \leq x) $ |
二、从PDF求CDF的步骤
已知概率密度函数 $ f(x) $，可以通过以下步骤求出分布函数 $ F(x) $：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定随机变量的定义域，通常为实数集 $ (-\infty, +\infty) $ |
| 2 | 对 $ f(x) $ 在区间 $ (-\infty, x] $ 上进行积分，即 $ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt $ |
| 3 | 根据积分结果，写出分布函数 $ F(x) $ 的表达式 |
| 4 | 验证 $ F(x) $ 是否满足分布函数的基本性质：非减性、右连续性、极限值为0和1 |
三、典型例子
| 概率密度函数 $ f(x) $ | 分布函数 $ F(x) $ | 说明 |
| $ f(x) = e^{-x}, x > 0 $ | $ F(x) = 1 - e^{-x}, x > 0 $ | 指数分布，适用于描述事件发生的时间间隔 |
| $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ F(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 1 & x > b \end{cases} $ | 均匀分布，概率密度在区间内均匀分布 |
| $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}, -\infty < x < \infty $ | $ F(x) = \frac{1}{2} \left[1 + \text{erf}\left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right)\right] $ | 正态分布，常用在自然和社会科学中 |
四、注意事项
- 分布函数是概率密度函数的积分，因此它是连续的、单调不减的。
- 若 $ f(x) $ 在某点不可积或不连续，需特别处理该点的分布函数值。
- 在实际应用中，若 PDF 已知但无法解析积分，可使用数值积分方法近似计算 CDF。
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 目标 | 由概率密度函数求出分布函数 |
| 方法 | 对概率密度函数进行积分，得到分布函数表达式 |
| 关键 | 确保积分范围正确，验证分布函数的性质 |
| 应用 | 用于计算随机变量落在某个区间的概率，是概率统计分析的基础工具 |
通过以上内容可以看出，从概率密度函数求分布函数是一个基础而重要的过程，理解并掌握这一过程有助于更好地分析和建模随机现象。
