在高考数学的备考过程中，掌握和熟练运用各种数学公式是取得高分的关键。无论是代数、几何、三角函数，还是概率统计、导数与积分等知识点，都需要依靠公式来解决问题。本文将系统整理高考数学中常见的各类公式，帮助考生全面复习、查漏补缺。
一、代数公式
1. 乘法公式
- 平方差公式：$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $
- 完全平方公式：$ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $
- 立方和/差公式：
$ a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) $
2. 因式分解常用公式
- $ a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1}) $
- $ a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1}) $（当n为奇数时）
3. 二次方程求根公式
- 对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，解为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
4. 韦达定理
- 若一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两根为 $ x_1, x_2 $，则：
$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1x_2 = \frac{c}{a}
$$
二、函数与不等式
1. 指数与对数公式
- $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $
- $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
- $ (a^m)^n = a^{mn} $
- $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $（换底公式）
- $ \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y $
- $ \log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y $
2. 基本不等式
- 均值不等式（AM ≥ GM）：
$$
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad (a, b > 0)
$$
- 柯西不等式：
$$
(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2
$$
三、三角函数公式
1. 基本关系式
- $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $
- $ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x $
- $ 1 + \cot^2 x = \csc^2 x $
2. 诱导公式
- $ \sin(\pi - x) = \sin x $
- $ \cos(\pi - x) = -\cos x $
- $ \sin(\pi + x) = -\sin x $
- $ \cos(\pi + x) = -\cos x $
3. 和角与差角公式
- $ \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b $
- $ \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b $
4. 倍角公式
- $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $
- $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x $
四、立体几何公式
1. 空间几何体体积与表面积
- 正方体：体积 $ V = a^3 $，表面积 $ S = 6a^2 $
- 长方体：体积 $ V = abc $，表面积 $ S = 2(ab + bc + ac) $
- 圆柱体：体积 $ V = \pi r^2 h $，侧面积 $ S = 2\pi rh $
- 圆锥体：体积 $ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h $，侧面积 $ S = \pi r l $（l为母线长）
- 球体：体积 $ V = \frac{4}{3}\pi r^3 $，表面积 $ S = 4\pi r^2 $
2. 向量运算
- 向量点积：$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta $
- 向量叉积：$ |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta $
五、解析几何公式
1. 直线方程
- 斜截式：$ y = kx + b $
- 点斜式：$ y - y_0 = k(x - x_0) $
- 两点式：$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $
2. 圆的标准方程
- $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $
3. 椭圆标准方程
- $ \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 $
4. 抛物线标准方程
- 开口向上或向下：$ (x - h)^2 = 4p(y - k) $
- 开口向左或右：$ (y - k)^2 = 4p(x - h) $
六、概率与统计
1. 排列组合公式
- 排列数：$ A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} $
- 组合数：$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!} $
2. 概率公式
- 互斥事件：$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $
- 独立事件：$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $
- 条件概率：$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $
3. 期望与方差
- 期望：$ E(X) = \sum x_i P(x_i) $
- 方差：$ D(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 $
七、导数与积分
1. 导数基本公式
- $ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} $
- $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $
- $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx} e^x = e^x $
- $ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} $
2. 积分基本公式
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（n ≠ -1）
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \cos x dx = \sin x + C $
- $ \int e^x dx = e^x + C $
- $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $
结语
高考数学虽然内容繁多，但只要掌握好公式并灵活运用，就能在考试中游刃有余。建议考生在复习过程中结合例题进行练习，做到“知其然，更知其所以然”。希望本文能为你的复习提供帮助，祝你在高考中取得优异成绩！
