二次型的基本概念

一个二次型 \( Q(x_1, x_2, ..., x_n) \) 是指一个关于变量 \( x_1, x_2, ..., x_n \) 的齐次多项式，其最高次数为2。它可以表示为矩阵的形式：

\[ Q(x) = x^T A x \]

其中 \( A \) 是一个对称矩阵，\( x \) 是一个列向量。

标准形

通过一系列可逆线性变换，任何二次型都可以化为其标准形。标准形的形式为：

\[ Q(y) = \sum_{i=1}^{r} y_i^2 - \sum_{j=r+1}^{s} y_j^2 \]

这里 \( r \) 和 \( s \) 分别表示正平方项和负平方项的数量。

正惯性指数与负惯性指数

- 正惯性指数：正平方项的个数 \( r \)，即标准形中带有正号的平方项数量。

- 负惯性指数：负平方项的个数 \( s \)，即标准形中带有负号的平方项数量。

这两个指数对于确定二次型的性质非常重要，尤其是在判断二次型是否为正定、负定或不定时。

应用实例

假设我们有一个二次型：

\[ Q(x_1, x_2) = 3x_1^2 + 2x_1x_2 + 5x_2^2 \]

通过适当的变换，可以将其化为标准形：

\[ Q(y_1, y_2) = 4y_1^2 - y_2^2 \]

在这个例子中，正惯性指数为1，负惯性指数也为1。

结论

正惯性指数和负惯性指数是分析二次型性质的关键工具。了解这些指数有助于我们在实际问题中更有效地处理和应用二次型。