【一元二次方程求最小值与最大值的公式是哪个】在数学中，一元二次方程的形式为：
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
其中 $ a \neq 0 $。这类方程的图像是一个抛物线，根据系数 $ a $ 的正负，抛物线开口方向不同，从而决定了函数有最大值或最小值。
对于一元二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $，我们可以通过一些公式来快速找到它的最小值或最大值。
一、一元二次函数的极值点
一元二次函数的图像是一条抛物线，其顶点就是函数的最大值或最小值点。顶点的横坐标可以通过以下公式计算：
$$
x = -\frac{b}{2a}
$$
将这个 $ x $ 值代入原函数，即可得到对应的函数值，即为该函数的最小值或最大值。
二、判断最大值或最小值的方法
- 当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上，函数有最小值。
- 当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下，函数有最大值。
三、总结公式
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 顶点横坐标 | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 求极值点的横坐标 |
| 极值（最小值或最大值） | $ y = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c $ | 将 $ x $ 代入原函数计算极值 |
| 或简化为 | $ y = c - \frac{b^2}{4a} $ | 更简洁的表达方式 |
四、实例分析
假设有一个一元二次函数：
$$ y = 2x^2 - 4x + 1 $$
- 系数 $ a = 2 $，$ b = -4 $，$ c = 1 $
- 顶点横坐标：
$$
x = -\frac{-4}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1
$$
- 极值：
$$
y = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1
$$
- 因为 $ a > 0 $，所以这是最小值。
五、结论
一元二次方程的最小值或最大值可以通过以下步骤确定：
1. 找到顶点的横坐标：$ x = -\frac{b}{2a} $
2. 计算对应的函数值：$ y = c - \frac{b^2}{4a} $
3. 根据 $ a $ 的正负判断是最大值还是最小值
这些公式不仅适用于求解最值问题，也常用于优化问题和实际应用中。
表格总结：
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 顶点横坐标 | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 求极值点的横坐标 |
| 极值 | $ y = c - \frac{b^2}{4a} $ | 最小值或最大值 |
| 判断方法 | 若 $ a > 0 $，则为最小值；若 $ a < 0 $，则为最大值 | 根据开口方向判断 |
