【直线被圆截得的弦长公式是什么】在解析几何中，当一条直线与一个圆相交时，会形成一条弦。这条弦的长度可以通过一些已知的几何关系和代数公式来计算。了解并掌握“直线被圆截得的弦长公式”对于解决相关问题非常有帮助。
一、
当一条直线与圆相交时，其交点之间的距离即为弦长。计算这条弦长的关键在于知道圆的方程、直线的方程以及它们之间的相对位置关系。通常，可以通过以下两种方法来求解：
1. 代数法：将直线方程代入圆的方程，解出交点坐标，再用两点间距离公式计算弦长。
2. 几何法：利用圆心到直线的距离，结合半径，通过勾股定理计算弦长。
其中，第二种方法更为简洁高效，适用于大多数情况。根据几何原理，弦长 $ L $ 可以表示为：
$$
L = 2\sqrt{r^2 - d^2}
$$
其中：
- $ r $ 是圆的半径；
- $ d $ 是圆心到直线的距离。
二、表格展示
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 直线被圆截得的弦长公式 |
| 公式表达式 | $ L = 2\sqrt{r^2 - d^2} $ |
| 公式含义 | 弦长等于两倍的根号下（半径平方减去圆心到直线距离的平方） |
| 公式适用条件 | 直线与圆相交；已知圆的半径 $ r $ 和圆心到直线的距离 $ d $ |
| 推导依据 | 勾股定理（圆心、弦中点、圆上一点构成直角三角形） |
| 使用场景 | 解析几何中求解直线与圆的交点距离问题 |
| 优点 | 简洁直观，无需解联立方程即可快速计算弦长 |
三、补充说明
- 当圆心到直线的距离 $ d = 0 $ 时，直线经过圆心，此时弦长为直径，即 $ L = 2r $。
- 若 $ d > r $，则直线与圆不相交，无实数弦长。
- 若 $ d = r $，则直线与圆相切，弦长为零。
通过上述内容可以看出，“直线被圆截得的弦长公式”是一个实用且基础的几何知识，掌握它有助于更深入地理解解析几何中的直线与圆的关系。
