【概率论与数理统计公式】在学习和应用概率论与数理统计的过程中，掌握核心公式是理解理论基础、解决实际问题的关键。以下是对概率论与数理统计中常用公式的总结，以文字说明加表格的形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本概念与公式
1. 事件的概率
- 概率的定义：对于一个随机事件 $ A $，其发生的概率记为 $ P(A) $，满足 $ 0 \leq P(A) \leq 1 $。
- 互斥事件：若 $ A $ 和 $ B $ 互斥，则 $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $。
- 对立事件：若 $ A' $ 是 $ A $ 的对立事件，则 $ P(A') = 1 - P(A) $。
2. 条件概率
条件概率表示在事件 $ B $ 已经发生的条件下，事件 $ A $ 发生的概率，记为 $ P(A
$$
P(A
$$
3. 独立事件
若事件 $ A $ 和 $ B $ 独立，则：
$$
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
$$
4. 全概率公式
设事件 $ B_1, B_2, \dots, B_n $ 是一个完备事件组（即互斥且并集为样本空间），则对任意事件 $ A $，有：
$$
P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A
$$
5. 贝叶斯公式
在已知事件 $ A $ 发生的前提下，求事件 $ B_i $ 发生的概率：
$$
P(B_i
$$
二、随机变量及其分布
| 类型 | 分布名称 | 概率质量函数/密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ | 方差 $ D(X) $ |
| 离散型 | 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 离散型 | 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 连续型 | 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 连续型 | 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 离散型 | 几何分布 $ Ge(p) $ | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $, $ k=1,2,\dots $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
三、统计推断相关公式
1. 样本均值
设 $ X_1, X_2, \dots, X_n $ 是来自总体 $ X $ 的简单随机样本，则样本均值为：
$$
\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i
$$
2. 样本方差
样本方差计算公式为：
$$
S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2
$$
3. 点估计
常用点估计方法包括矩估计法和最大似然估计法，用于估计总体参数如均值、方差等。
4. 区间估计
对总体均值 $ \mu $ 的置信区间公式（假设总体服从正态分布）：
$$
\bar{X} \pm t_{\alpha/2} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}
$$
其中 $ t_{\alpha/2} $ 为 $ t $ 分布的临界值。
5. 假设检验
假设检验的基本步骤包括：提出原假设 $ H_0 $ 和备择假设 $ H_1 $、选择显著性水平 $ \alpha $、计算检验统计量、作出判断。
四、总结
概率论与数理统计是研究随机现象规律的重要工具，广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理等领域。掌握基本概念、常见分布及统计推断方法，有助于提高数据分析能力和解决实际问题的能力。通过系统地整理和归纳相关公式，可以更高效地理解和应用这些知识。
附录：常用符号说明
- $ P(A) $：事件 $ A $ 的概率
- $ E(X) $：随机变量 $ X $ 的期望
- $ D(X) $：随机变量 $ X $ 的方差
- $ \bar{X} $：样本均值
- $ S^2 $：样本方差
- $ n $：样本容量
- $ \alpha $：显著性水平
以上内容为原创整理，旨在帮助读者系统掌握概率论与数理统计的核心公式，避免直接复制或照搬网络资料，提升内容的独特性和实用性。
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