在概率论和统计学中，泊松分布是一种离散概率分布，常用于描述单位时间内随机事件发生的次数。例如，电话交换机接到的呼叫次数、某放射性物质单位时间内发射出的粒子数等都可以用泊松分布来建模。
泊松分布的概率质量函数（PMF）为：
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
其中：
- \( X \) 是随机变量，表示事件发生的次数；
- \( k \) 是非负整数（0, 1, 2, ...），表示事件发生的次数；
- \( \lambda > 0 \) 是事件发生的平均速率或强度；
- \( e \approx 2.718 \) 是自然对数的底数。
泊松分布的一个重要性质是其期望值等于参数 \( \lambda \)。即：
\[ E[X] = \lambda \]
为了验证这一点，我们可以从定义出发，利用数学推导来证明。
首先，根据期望的定义，我们有：
\[ E[X] = \sum_{k=0}^\infty k \cdot P(X = k) \]
将泊松分布的概率质量函数代入，得到：
\[ E[X] = \sum_{k=0}^\infty k \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
注意到当 \( k = 0 \) 时，\( k \cdot P(X = k) = 0 \)，因此可以将求和的起点改为 \( k = 1 \)：
\[ E[X] = \sum_{k=1}^\infty k \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
接下来，我们将 \( k \) 分解为 \( k = (k-1) + 1 \)，从而拆分求和项：
\[ E[X] = \sum_{k=1}^\infty [(k-1) + 1] \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
进一步展开为两个独立的求和项：
\[ E[X] = \sum_{k=1}^\infty (k-1) \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} + \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
对于第一项，注意到 \( (k-1)! = k! / k \)，因此可以简化为：
\[ \sum_{k=1}^\infty (k-1) \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1} e^{-\lambda}}{(k-1)!} \]
通过变量替换 \( j = k-1 \)，可得：
\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1} e^{-\lambda}}{(k-1)!} = \sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j e^{-\lambda}}{j!} = e^\lambda \cdot e^{-\lambda} = 1 \]
对于第二项，同样利用 \( k! = k \cdot (k-1)! \)，可以化简为：
\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \lambda \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1} e^{-\lambda}}{(k-1)!} \]
再次进行变量替换 \( j = k-1 \)，得到：
\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \lambda \cdot \sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j e^{-\lambda}}{j!} = \lambda \cdot 1 = \lambda \]
综上所述，两部分相加后得到：
\[ E[X] = 1 + \lambda = \lambda \]
因此，泊松分布的期望值确实等于其参数 \( \lambda \)。
总结来说，泊松分布的期望值可以直接由其定义和性质得出，无需复杂的计算过程。这种简洁性使得泊松分布在实际应用中非常方便。无论是研究通信网络中的流量波动还是分析生物实验中的突变频率，泊松分布都能提供有力的支持。
