在概率论与数理统计的学习过程中，我们经常会遇到“已知概率密度函数，如何求出对应的分布函数”这样的问题。对于初学者来说，这可能是一个容易混淆的概念，但其实它并不复杂，只要掌握基本原理和计算方法，就能轻松应对。
首先，我们需要明确两个关键概念：概率密度函数（PDF） 和 分布函数（CDF）。
一、什么是概率密度函数？
概率密度函数（Probability Density Function，简称 PDF）是用来描述连续型随机变量的概率分布的函数。它并不直接表示某个具体值的概率，而是表示在某一区间内取值的概率密度。也就是说，PDF 的积分可以得到该区间内的概率。
设 $ X $ 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 $ f(x) $，则有：
$$
P(a < X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx
$$
二、什么是分布函数？
分布函数（Cumulative Distribution Function，简称 CDF）是描述随机变量小于或等于某个值的概率的函数。对于任意实数 $ x $，分布函数 $ F(x) $ 定义为：
$$
F(x) = P(X \leq x)
$$
换句话说，分布函数给出了随机变量不超过某个特定值的概率。
三、如何由概率密度函数求分布函数？
根据定义，分布函数 $ F(x) $ 可以通过对概率密度函数 $ f(x) $ 在区间 $ (-\infty, x] $ 上进行积分来获得：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt
$$
这个过程也被称为对 PDF 进行积分运算。需要注意的是，这个积分的结果必须满足分布函数的基本性质：
1. $ F(x) $ 是非递减函数；
2. $ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 $；
3. $ \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 $；
4. $ F(x) $ 在 $ f(x) $ 连续的点上可导，且导数为 $ f(x) $。
四、实际计算中的注意事项
- 积分上下限：在实际计算中，如果已知的 PDF 在某些区间外为零，那么积分只需在非零区域进行。
- 分段函数处理：当 PDF 是分段函数时，需要分别对每个区间进行积分，并将结果组合成一个完整的分布函数。
- 常数项的确定：在某些情况下，积分后可能会出现常数项，需要结合边界条件（如 $ F(-\infty) = 0 $）来确定。
五、举例说明
假设某连续型随机变量 $ X $ 的概率密度函数为：
$$
f(x) =
\begin{cases}
2x, & 0 \leq x \leq 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
那么它的分布函数为：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt
$$
分情况讨论：
- 当 $ x < 0 $ 时，$ f(t) = 0 $，所以 $ F(x) = 0 $
- 当 $ 0 \leq x \leq 1 $ 时，
$$
F(x) = \int_{0}^{x} 2t \, dt = t^2 \bigg|_{0}^{x} = x^2
$$
- 当 $ x > 1 $ 时，$ F(x) = 1 $
因此，最终的分布函数为：
$$
F(x) =
\begin{cases}
0, & x < 0 \\
x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\
1, & x > 1
\end{cases}
$$
六、总结
从概率密度函数求分布函数，本质上是一个积分过程。只要理解了两者的定义及其关系，就能灵活运用这一方法解决实际问题。在学习过程中，多做练习题、熟悉不同类型的 PDF 并尝试计算对应的 CDF，将有助于加深理解和提高解题能力。
