【等比数列相关知识及公式讲解】等比数列是数列中的一种重要类型，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。它具有固定的比值关系，即每一项与前一项的比值为常数。以下是对等比数列的基本概念、性质及其相关公式的总结。
一、基本概念
1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列。
2. 公比（r）：等比数列中相邻两项的比值称为公比，记作 $ r $，且 $ r \neq 0 $。
3. 首项（a₁）：数列的第一个数称为首项，通常用 $ a_1 $ 表示。
二、通项公式
等比数列的第 $ n $ 项可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $：第 $ n $ 项
- $ a_1 $：首项
- $ r $：公比
- $ n $：项数
三、求和公式
1. 前 $ n $ 项和公式（当 $ r \neq 1 $）
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{或} \quad S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
$$
2. 当 $
$$
S = \frac{a_1}{1 - r}
$$
四、等比数列的性质
| 性质 | 描述 |
| 1 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $ |
| 2 | 若 $ a_n $ 是等比数列，则 $ a_m \cdot a_{n} = a_p \cdot a_q $，当 $ m + n = p + q $ |
| 3 | 等比数列中，若 $ r > 1 $，则数列递增；若 $ 0 < r < 1 $，则数列递减；若 $ r < 0 $，则数列交替变化 |
| 4 | 若将等比数列各项乘以同一非零常数，仍为等比数列 |
五、常见题型与解法
| 题型 | 解法 | ||
| 已知首项和公比，求某一项 | 使用通项公式 $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||
| 已知若干项，求公比 | 利用相邻两项之比计算 $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $ | ||
| 求前 $ n $ 项和 | 使用求和公式 $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | ||
| 求无限等比数列和 | 当 $ | r | < 1 $ 时，使用 $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ |
六、表格总结
| 内容 | 公式/说明 | ||
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||
| 前 $ n $ 项和 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | ||
| 无限等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） |
| 公比计算 | $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $ | ||
| 等比中项 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $ |
通过以上内容的学习，可以系统掌握等比数列的基本概念、公式及其应用方法，为后续学习数列、级数等内容打下坚实基础。
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